Методом POST отправляйте на сервер выбранные ID. Для этого можно чекбоксам давать соответствующие имена. name="cb[1]", name="cb[4]". Тогда данные передадутся как массив. И потом делайте, что хотите с этими ID.
1. Ничего, что у переменных разные имена ($nameF и $name)?
2. Почитайте про функцию rename(). Первым аргументом идет имя существующего файла, вторым - новое имя.
3. И не просто имя передавать, а путь к этому файлу (если, конечно, он не в той же директории, что и скрипт).
С чего вы решили, что должно быть "2011-04-20, например". Читайте спецификацию по функциям с упорством. mysql_query возвращает ресурс или false при ошибке. Для получения значений запроса нужно использовать следующие функции: mysql_result, mysql_fetch, mysql_fetch_array и т.д.