посмотрите переменные $pass_file $pass что они имеют.
(Добавление)
Вот тут я не могу понять , вы $_POST['name']; присваиваете переменной $name? потом эту переменную тоисть ник используете как имя файла $name.txt
PHP:
скопировать код в буфер обмена


<?PHP
$name = $_POST['name']; //ввод логина
$pass = $_POST['pass']; //ввод пароля
$name = "$name";
$pass = "$pass";

if (!empty($name) or !empty($pass)) //проверка не пустые ли
{
$file = fopen ("$name.txt", "w+"); //открытие файла
$pass_file = fgets ($file); //изъятие пароля
fclose ($file); //закрытие файла
}
elseif ($pass_file == $pass) //проверка на совпадение
{
echo ("main.html"); //переход на главную
}
else
{
echo ("wrong.html"); //переход на другую
}
?>



(Добавление)
как так

$name = $_POST['name']; //ввод логина
$pass = $_POST['pass']; //ввод пароля
$name = "$name";
$pass = "$pass";