С матиматической формулой все понятно. n!/((n-p)!p!)
Не понимаю с циклом:
$p= 8; $n= 48;
for($c= $n, $x= $n-1, $y= 2; $y<=$p; $y++, $x--) $c= $c*$x/$y;
echo "$c\n";

Почему $y = 2?
Почему такое решение? $c= $c*$x/$y

Вот такие хитрецы, так хитро разложили формулу сочетаний. Вынесли подсчет факториала в цикл.
Возьмите числа поменьше и пройдитесь по операциям, подставляя числа вместо переменных, пошагово, станет понятно.