Если не нажимая кнопку submit - это ajax. Для новичка технология сложная. Сразу скажу, я ajax не использовал, не работал с ним.
http://ru[dot]wikipedia[dot]org/wiki/AJAX
Нужно определиться, как вы будете хранить данные.
Если в файле, то одна реализация, если в базе данных, то иная.
Нужно понять, как будет вноситься в базу расписание. Вероятно, автоматически.
Также, наверное, нужно предусмотреть возможность редактирования вами расписания.
Опять же какой-то доступ к базе, через панель администратора.
Т.е. вам надо.
1. Автоматически (с каким-то интервалом) генерировать расписание, заносить в базу
или составлять самому. Или иметь всегда одно и тоже, если принимаете всегда в одни и те же дни и то же время.
т.е. надо настраивать, например базу данных mysql.
2. Панель для администрирования, чтобы иметь возможность редактировать время, т.е.
авторизация, т.е. заходить по паролю.
3. Вероятно там же иметь возможность просматривать тех, кто записался к вам.
4. Скрипт вывода расписания на сайте.
Из технологий понадобится: mysql (или иная СУБД), php, ajax.