Это все внутри формы или само по себе?
Если да, делать кнопку тэгом <input type="submit"> а не <button>

Это все не заключено в единую форму


А вот как написать скрипт js, что бы он отправлял все то, что находится в онке

Для начала нужно определиться, чего именно хочется. Отправить с перезагрузкой страницы (т.е. как настоящая форма) или без перезагрузки (т.е. как аякс).
Если первое, то опять два варианта. Методом GET наверно совсем просто. Создать нужную ссылку и перейти по ней. Но <textarea> передавать гетом наверно не совсем хорошо. Тогда POST, как это сделать достаточно просто - не знаю. А если сложно - создать джавасктиптом невидимую форму, в нее вписать нужные данные и вызвать нужный метод. Хотя не понятно, почему бы не сделать нормальную форму, тогда все будет намного проще.
Теперь второе, т.е. без перезагрузки. Тут тоже два вариатна - использовать аякс, или не использовать аякс. В аяксе я не силен, это не ко мне, а без аякса - подгрузить фиктивную картинку или скрипт, где опять же в src указать адрес с параметрами, в которые запихнуть данные.
Короче, дело не простое, и для начала нужно понять, а чем собственно нормальная форма не нравится.

С формой не получается, так как из за нее обновляется страница, а мне нужно что бы заявка отправилась и окно при этом не закрывалось

Вам в помощь https://learn[dot]javascript[dot]ru/xhr-forms
Или с помощью jQuery https://api[dot]jquery[dot]com/jquery[dot]post/