Используя переменную this можно обращаться к потомкам по индексу - порядку следования.
Например:
this.children[1].innerHTML = ".....";

Вопрос:
Можно ли обратиться к потомку не по индексу, а например по имени тега, классу, значению какого-то атрибута?
Не банальным перебором в цикле всех дочерних элементов.

!Интересует исключительно возможность без использования библиотеки jquery.

shurik_7866, прочитайте про querySelector/querySelectorAll, getElementsByTagName, getElementsByClassName и остальную компанию. Ну и "Traversing the DOM" поискать на просторах интернетов