Пишу свой форум на php и mysql. Каким образом можно сделать так, что если пользователь зашел в форум, тему, ее иконка менялась на прочитано, как на всех современных форумах?Понятия не имею что записывать и что проверять так сказать.

смотря ка у вас бд устроена.
Берём ид темы и выбираем один последний коментарий и смотрим кто автор.

• Можешь в сессии или в куках хранить массив, в который будешь складывать ID посещенных тем. При первом входе все темы, созданные за последний месяц (например) будут не прочитаны.
  
• Можешь создать таблицу user_theme_view c полями user_id|themes_list|created_at|updated_at. В themes_list хранить ID тем через какой-нибудь разделитель (например: 1|2|3), в created_at дату cоздания записи, в updated_at последнего обновления. Список с темами из этой таблицы загружается в сессию при входе в систему. Created_at и updated_at нужны для того, чтобы выявлять и удалять устаревшие и мертвые записи из таблицы

вот в дле форум topic_id forum_id user_id time
такая таблица, но это же если большой форум, то сколько записей получается тогда минимум количество тем*на количество пользователей, поменьше никак?
в других более популярных форумах не знаю как так как там много таблиц и долго разбираться

нужно хранить все это в базе данных mysql (чтобы когда пользователь браузер переставил или еще что это было)